卡卡頌(Carcassonne)是一個位在法國西南部的中世紀小鎮，而桌遊的卡卡頌則用拼圖的方式，重現了中世紀的景色。每個回合，玩家抽取一張版塊並拼放在整個地圖上，幫忙擴建地圖上已經有的城堡、道路或者是草地。隨著遊戲的進行，好像在用鳥瞰視角來看一大片的歐式鄉村一樣，地圖上會有愈來愈豐富的城堡、路與草地，整個遊戲畫面也會愈來愈漂亮。
對這款遊戲我有一個特別的回憶，它是我所接觸的第一款桌遊。還記得第一次玩的時候抓不到訣竅，自己唯一的一隻大人出去後就再也沒有回收回來，最後慘遭墊底。雖然這樣，但是卻很喜歡這款遊戲中，把地圖分成一個一個小片元素再加以重組，每次都可以排出不同的景色的設計。
卡卡頌遊戲進行中，很重要的一點就是抽取板塊，拼到地圖上。但是與旁邊相鄰的板塊要遵守以城堡接城堡、路接路、草地接草地的規則。因此雖然每塊版塊都長的不太一樣，拼起來卻相當的協調。
雖然這款遊戲定位是家庭遊戲，但是對於重度桌遊策略咖，總是有辦法把所有的遊戲變成心機遊戲。因為當拼放版塊的時候，有幾個邊和旁邊版塊相鄰幾塊版塊就需要把這些都成功接上，因此，如果有個地方不想讓對手接上，只要先繞過去把這個位置旁邊的版塊先拼好，這個地方能夠拼的限制就愈來愈多，而對手也就更需要運氣與神抽才能找到適合的版塊。
因為拼放版塊的自由度很高，因此隨著遊戲進行，符合各種可能的邊界狀況的空格都可能會被創造出來。而需要把這格拼上去的人就會因此傷透腦筋，對天祈禱自己運氣夠好。有些更心機的玩家甚至會把各種不同邊界在不同的擴充版中各自有幾塊版塊都背下來，當需要的版塊不存在或者已經被抽完時，中招的玩家也只好認命放棄治療了。
因此，在這個遊戲中，一個很重要的問題是：到底有多少種可能的邊界條件呢？在這裡我們要討論的是，既然每個板塊都是四方形，而每個邊都有城堡、路、草地這三種選擇。那麼有多少種不同邊界的組合呢？左邊的照片中，雖然五個方塊都長的不一樣，但是他們四邊都是城堡，也都可以塞進完全一樣的洞中。因此，我們不管中間可能有什麼不一樣的構圖，把他們當做是同一種邊界的組合。
這個問題中最麻煩的點，是想清楚到底什麼樣的邊界算成同樣一種。因為版塊是可以旋轉的，因此旋轉後雖然也許各樣的路和城堡都跑到不同的方位去了，但是仍然當做是一樣的。像是右邊的照片，雖然路都在不一樣的位置，但是旋轉一下就會發現其實四張版塊是長的一模一樣的。加上會被旋轉的可能性，腦筋就開始打結了，好像我們很容易重複計算同樣的組合。
因此，為了不要重複計算，我們用兩個不同的階段來討論：
階段一，找出四邊中，城堡、路、草地各自有幾個所有的可能性。
階段二，把階段一的東西拿來排在正方形四邊，看會有幾種排法。
又因為決定階段二有幾種排法的只有各種類的數量分布，詳細什麼種類有幾個不影響排法。例如：我們知道怎麼排兩個城堡兩個草地的邊界，那麼只要把草地換成路，我們就可以知道怎麼排兩個城堡兩個路的邊界。把前面的階段修改一下，變成：
階段一，找出四邊分成Ａ、Ｂ、Ｃ三種東西總共有幾種可能性，假定Ａ比Ｂ多，Ｂ比Ｃ多。
階段二，把階段一的東西拿來排在正方形四邊，看會有幾種排法。
階段三，決定到底Ａ、Ｂ、Ｃ分別是城堡、路、草地的那一個。
因此，第一階段就一個一個試，從Ａ最多可能有四個開始減少，只有以下四種情形。
可能性一
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可能性二
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可能性三
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可能性四
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Ａ
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4
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3
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2
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2
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Ｂ
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0
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1
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2
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1
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Ｃ
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0
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0
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0
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1
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但是因為這四種可能性之後的狀況都是不一樣的，需要分開來討論，當可能性一的時候階段二與三會怎樣，可能性二的時候階段二與三會怎樣，以下類推，而沒辦法用乘法寫成4乘以別的數字。
可能性一，當ＡＢＣ的分布是(4,0,0)的時候，翻成白話文，就是四面都是Ａ，在第二階段中沒有什麼好排的，只有1種可能。而第三階段中我們只需要決定Ａ到底是什麼，共有3種不同的可能，因此最後可以產生四面都是路、四面都是草地、四面都是城堡的3種狀況。
可能性二，當ＡＢＣ的數量分別是(3,1,0)的時候，在第二階段只有1種方法把他們排在四方形的四邊，因為不管我們把唯一的Ｂ放在哪邊，都可以透過旋轉來移到同樣的位置（像是轉到朝下的方向）。而這次第三階段我們就需要決定Ａ和Ｂ。從Ａ開始選，Ａ有3個可能的選項（城堡、路、草地）。之後處理Ｂ，因為不可以和Ａ相同，剩下2個可能性。總共有3x2=6種不同的組合。
可能性三，當ＡＢＣ的分布是(2,2,0)的時候，有2種不同的方法把他們排在四方形的四邊，兩個Ａ相臨或者Ａ和Ａ是面對面的位置，而把Ｂ放在剩下的空位中，不管是哪一種排列方式，我們都可以藉由旋轉來交換Ａ和Ｂ，因此我們只需要決定C是什麼（哪一種不會用上），剩下的兩種放在ＡＢ的位置。Ｃ總共有3種不同的可能性。加上排列方式，會有2x3=6種邊界條件符合這種分布。
最後，可能性四，當ＡＢＣ的分布是(2,1,1)的時候。和上面的可能性三類似，有2種不同的方法把他們排在四方形的四邊，兩個Ａ相臨或者Ａ和Ａ是面對面的位置，而把ＢＣ放在剩下的位置。但這兩種狀況的發展卻不太一樣，如果兩個A是面對面的位置，則ＢＣ不管怎麼放，把整張板塊轉180度之後就可以把BC對換，因此只要決定A，共有3種邊界條件符合這種分布。另一方面，如果兩個Ａ是相臨的，則剩下的ＢＣ沒有辦法對換。如果我們假定上方和右方是Ａ，下方是Ｂ，左方的邊界是Ｃ，則ＡＢＣ共有3x2x1=6種可能。因此，這種可能性，在細分成兩個不同的類型後，總共有3+6=9種不同的板塊。
因此，總共有3+6+6+9=24種不同的邊界條件。回到原本的卡卡頌基本版遊戲，只有其中的17種邊界條件。少了照片中所示的7種。因此，下次玩基本版的時候，特別要記住只有一邊城堡一邊路的都是無解的，只要做出剛好是這7種中任何一種的空位，就可以成功使出黑暗打法讓那格永遠拼不起來。好孩子不要輕易模仿喔！知道邊界條件的可怕了吧！嘿嘿嘿！
這二十四種可能的組合，同時也與一個有趣的益智玩具有關。要如何安排這二十四個正方形在四個正立方體的面上，使得所有的邊界都是吻合的呢？很神奇的，可以找到一組三種邊界彼此之間不太對稱的解答。右圖中顯示的就是這四個正立方體展開來以後的樣子。組成立體以後看起來就像是四個可愛的卡卡頌小行星。而益智玩具的玩法就是用這四個正立方體來拼出更多邊界吻合的立體形狀囉！
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| 按照上面的展開圖拼起來的卡卡頌立方體。 |
後記：以上那些不存在於基本版的板塊，是從各個卡卡頌擴充中收集來的。但是，要寫這篇文章的時候才發現因為之前疏於整理，硬生生的有個很重要的邊界條件的板塊不見了。因此，所有照片中用到那個板塊的部份，全部都是靠合成出來的。仔細看可以看出破綻喔！
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